模型表述:
如图所示的圆锥摆，摆长为l的细绳一端系在天花板上，另一端悬挂着质量为m的小球。小球经推动后，在水平面内绕着过圆心O的铅直轴做角速度为ω的匀速率圆周运动。问绳和铅直方向所成的角度θ为多少？不计空气阻力，重力加速度等于g。
分析与推理：
小球受到竖直向下的重力和沿绳向上的拉力作用。
由于小球在水平面内做匀速率圆周运动，过圆周上任意一点，切向加速度为零,合力提供向心力。根据牛顿第二定律可得
几何关系
联立以上方程我们可以解得:
注：若已知悬点到圆心的间距h，即可得圆锥摆的周期公式：
模型的应用：瓦特的调速器
▲瓦特的蒸汽机原理图
▲瓦特的蒸汽机连动工作原理图
▲吸气冲程
▲排气冲程
瓦特的一项重要发明是在蒸汽机上安装了离心调速器，这大约是1782年前后的事情。据说调速器并不一定是瓦特的发明，不过瓦特想到把它装在蒸汽机上，也是一件了不起的创新。这种调速器的构造是利用蒸汽机带动一根竖直的轴转动，这根轴的顶端有两根铰接的等长细杆，细杆另一端各有一个金属球。当蒸汽机转动过快时，竖轴也转动加快，两个金属小球在离心力作用下，由于转动快而升高，这时通过与小球连接的连杆便将蒸汽阀门关小，从而蒸汽机的转速也便可以降低。反之，若蒸汽机的转速过慢，则竖轴转动慢了，小球的位置也便下降，这时连杆便将阀门开大，从而使蒸汽机转速加快。离心调速器是一个基于力学原理的发明，他是蒸汽机所以能普及应用的关键, 也是人类自动调节与自动控制的开始。由于人们能够自由地控制蒸汽机的速度，才使蒸汽机应用于纺织、火车、轮船、机械加工等行业，才使人类大量使用自然原动力成为可能，这才有产业革命的第二阶段。
在蒸汽机发展的早期，瓦特就是根据上述圆锥摆的摆角θ随角速度ω的改变而改变的原理，做成了蒸汽机调速器。蒸汽机调速器的示意图如下。
▲瓦特的蒸汽机调速器原理图
当转速超过一定的限度时，摆角增大，使阀门关闭，进入气缸中蒸汽的量有所减少，从而减小转速。当转速过低时，摆角减小，使阀门打开，增加气缸中的蒸汽量，增大转速，从而达到调速作用。这样就基本上完成了机器转速无论外界的负荷怎么变化都能保持了基本稳定。现在许多机器还在使用这种调速器。
调速器使用后，初期运行很正常。但是当蒸汽机的速度提高后，调速器就不能稳定运转了，会出现时快时慢的现象。最早研究调速器的稳定性问题的是英国物理学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831－1879）。1868年麦克斯韦发表的《论调节器》最早把调速器的运动状态用微分方程来描述，他导出了调节器的微分方程，并在平衡点附近进行线性化处理，指出稳定性取决于特征方程的根是否具有负的实部。麦克斯韦在论文中对三阶微分方程描述的具体系统以及具有五阶微分方程的特殊系统进行了研究，并给出了系统的稳定性条件。
后来到了1872年，俄国的维斯聂格拉斯基（Иван АлексеевичВышнеградский，1831－1895）写出了论文《论调整器的一般原理》，于1876年在法国科学院报上发表。他和麦克斯韦一样采用线性化的方法简化问题，得到了比较完全的稳定性条件。
后来英国的儒斯（Edward John Routh,1831－1907）和俄国的李亚普诺夫（Александр МихаиловичЛяпунов,1857－1918）分别在1877年和1892年发表对于运动系统普遍稳定性的理论研究的论文，才最后从理论上比较完全地解决了力学系统的稳定性问题。
调速器是一项技术发明，由于它的重要性，才开始了蒸汽机的普遍使用，从而才有产业革命。工业控制论的研究也可以说是从调速器的研究开始的。并且由研究调速器的稳定性开始导致研究力学系统稳定性的开始和深入。因此，了解调速器的历史，对于了解蒸汽机的历史，对于理解控制论的历史，对于了解运动稳定性研究的历史都是十分重要的。
